Γεννήθηκε στις 27 Νοεμβρίου 1928 στην Αθήνα και μεγάλωσε σε μια αστική οικογένεια, καθώς ο πατέρας του ήταν δικηγόρος.
Ο Αλέκος Αλεξανδράκης απολάμβανε το διάβασμα και τα μαθήματα ξιφασκίας και σε ηλικία 15 ετών συμμετείχε στην εθνική ομάδα.
Στα 16 του χρόνια πήρε μέρος στη Σχολή Δοκίμων, καθώς ήθελε να γίνει αξιωματικός στο Ναυτικό.
Τελικά άλλαξε γνώμη και ξεκίνησε μαθήματα υποκριτικής στο Βασιλικό Θέατρο. Ένας από τους λόγους που στράφηκε στην υποκριτική ήταν ο έρωτάς του με την Έλλη Λαμπέτη, την οποία παρακολουθούσε σε παραστάσεις στο πλευρό του Δημήτρη Χορν.
Όπως ο Αλέκος Αλεξανδράκης είχε δηλώσει: ”Είχα πραγματικά μαγευτεί από την υποκριτική τους τέχνη. Ένα βράδυ λοιπόν, η Έλλη, με πιάνει από τον ώμο. ”Νεαρούλη τι κάνεις εσύ κάθε βράδυ εδώ;” μου λέει. ”Είμαι μαθητής στη Σχολή κυρία Λαμπέτη. Σας θαυμάζω και τους δύο. Είστε οι αγαπημένοι ηθοποιοί”.
Ένα βράδυ του ζήτησε να τη συνοδεύσει μέχρι το σπίτι της και από τότε έκαναν καθημερινά μαζί τη διαδρομή.
Τότε, γεννήθηκε ο έρωτάς τους, ο οποίος κράτησε έξι μήνες. Χώρισαν όταν ο Αλέκος Αλεξανδράκης αποφάσισε να ακολουθήσει την Κατερίνα Ανδρεάδη σε μια περιοδεία.
Από την πρώτη στιγμή ξεχώρισε ανάμεσα στους σπουδαστές, ενώ όταν ανέβηκε για πρώτη φορά στο σανίδι η εφημερίδα “Καθημερινή” έγραψε “Παρουσιάστε όπλα. Επιτέλους ένας εραστής στο ελληνικό θέατρο”. Γρήγορα τον εντόπισε ο Φίνος και ξεκίνησε την κινηματογραφική του καριέρα.